Um outro Princípio da Indução Completa

O princípio original da indução completa diz que dado um subconjunto não-vazio de inteiros positivos (o chamemos B), então 

(i) B tem um elemento mínimo (1), logo
(ii) 1 ∈ B;
(iii) ((∀a ∈) → S(a) ∈ B
(iv) ∴ (1, 2, 3, 5,... n+1...) ∈ B
(v) ∴ B = N

Mas o princípio poderia ser reformulada de maneira mais simples:

(i) todo número existente pertence a um dado conjunto 
(ii) logo, não há nenhum número que não pertença a um conjunto em particular 
(iii) o sucessor de um dado número pertence ao seu mesmo conjunto
(iv) logo, se a ∈ K, então S(a) ∈ K

Destes princípios segue

(v) 1 pertence a um dado conjunto B (de i)

(vi) logo, S(1) ∈ B (de iii)

Alternativamente, (vi) poderia ser reformulado

(vi') logo, 2 (S(1)) ∈ B

Repetindo a mesma lógica, segue que

(vii) S(2) ou 3 ∈ B

Assim, o argumento engloba todos os números inteiros positivos, donde se conclui

(viii) B = N

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